需要相亲屡次才气找到靠谱的工具？

谈到相亲就不得不提到著名的麦穗问题。说有一天，苏格拉底教育几个门生来到一块成熟的麦地边。他对门生们说：“你们去麦地里摘一个较大的麦穗，但要求只能摘一次，只许进不许退，我在麦地的止境等你们。”可以看得出，相亲这种勾当就有点雷同于摘麦穗，在期待和定夺之间告竣均衡是办理问题的重点。

将上述的麦穗问题进一步抽象就是一个经典的概率问题。若一个袋子里有100个差异的球。每个球上标明白其尺寸巨细。我们每次随机无放回的从袋中取一个球出来，调查其巨细属性之后需抉择要或是不要。假如要，取球就此遏制。假如不要，再继承取球，但禁绝再转头要原先的球。这样下去，直到100个球取完为止。目标就是取到谁人较大的球。

对付这个概率问题，一种思路就是取1到100之间的某个数字n，以它作为支解点将整袋球分别为两组，第一组即从第1个到第n个球，第二组即从第n+1个到第100个球。我们以第一组为调查工具，找到第一组中较大的球M，记录其巨细但并不可动。然后从第二组中寻找大于M的第一个球，取该球为最终选择。那么n应该设为几多，才气使取到较大球的概率尽大概的高呢？Ross在其《概率论基本教程》中已经给出了较准确的理会（英文版第8版P345；可能陈木法的《随机进程导论》 P105），最优的n公式表达为 $n^*=\inf\{r:\sum_{n=r}^{N-1}\frac{1}{n}\le1\}$ ;在N充实大时，n应该取在1/e的比例处，也就是所有球数目标37%处。在解的进程中先运用条件概率获得全概率表达式，再用持续化的积分来近似离散化的概率，将积分求出后举办求导获得最终谜底。看到这里列位是否有些惊奇，这个e但是无所不在啊。

换句话说，假如你确定在生掷中会碰着100个工具，那么对前37个就请按捺住你的热情，鉴定个中最优秀的那位M，然后再去寻找比M更优秀的，假如然的碰着就立即动作，不要再踌躇。因为她/他很大概就是Mr. Right。

口说无凭，我们用R来检测一下上面的结论。先结构一个用于选择的函数，输入参数n是数据的支解点，输出即为选取获得的功效，假如获得100表白选取获得最优秀的工具，假如获得0则表白一无所获。然后配置n取值范畴从1到100，对每个n的值模仿10000次选取行为，计较出给定n条件下获得较大值的频次。从下图可以看到较大值简直取在37四周，切公道论功效。

横轴暗示了差异的分别参数n，纵轴暗示给定n条件下，能获得最优值的频数

这里尚有一个问题，最优解不必然是令人满足的。按照最优解来动作，会有36%的大概获得较佳的工具，但也有靠近38%的大概会一无所获。实际上，有时候我们甘心获得一个次优的功效（譬喻99）也不但愿孤傲的糊口。所以在选择n这个参数的时候，方针应该着重于功效的期望值巨细。从头编程运行后，从下图可以调查到最优值取在7四周。也就是说，假如你确定在生掷中会碰着100个工具，那么前7个就略过，鉴定个中最优秀的那位M，然后再去寻找比M更优秀的，这样有较大的大概获得靠谱的工具。

横轴为差异的分别参数n，纵轴暗示10000次模仿的期望值

好了，我们知道了应该在调查7个工具后就开始动作，那么回到本文的题目上来，也就是需要几多次相亲才气碰上Mr. Right呢？我们先结构一个函数来记录在第二组中举办实验的次数。然后模仿10000次后绘制直方图如下，可以看到仍然有7%阁下的人未能找到符合的工具，而50%的人在10次实验之内即能选取到符合的工具（未加上第一组的7次调查勾当），80%的人在30次实验之内即能找到符合的工具。所以说，只要你人品不是太差，在37次相亲实验之内，应该就可以找到靠谱的工具。进展你不会掉入离群点中去。

举办工具选取的一万次模仿，每次模仿返回选取工具所需要的实验次数，0暗示未能获得任何工具，1暗示在调查七个工具后，只需要一次实验就获得较优的工具。

注：本文结论有许多埋没前提，其推理亦大概有失误之处，仅供娱乐。若读者完全以本文为指导举办相亲勾当，其效果概不认真 ^_^

R代码如下：

# 举办调查和选取的函数，n认真对整体举办分别，取值在1到100之间

selection <- function(n) {

  raw.data <- sample(1:100,100)

  first.group <- raw.data[1:n]

  second.group <- raw.data[(n+1):100]

  first.max <- max(first.group)

  morethan.first <- second.group > first.max

  my.select <- ifelse(any(morethan.first) == TRUE,

                      second.group[morethan.first][1],0)

  return(my.select)

}
# 举办第一次模仿，找到最优的分别参数，使选取到较大值的概率较大。

data <- matrix(rep(0,10000*100),ncol=100)

result1 <- rep(0,100)

for (i in 1:100) {

  temp <- replicate(n=10000,selection(i))

  data[ ,i] <- temp

  result1[i] <- sum(data[,i] == 100)

}

which.max(result1)
# 用ggplot2画图包举办调查

library(ggplot2)

index <- 1:100

p <- ggplot(data=data.frame(index,result1),aes(index,result1))

p+geom_line(size=1, colour=’turquoise4′) +

  geom_point(aes(x = which.max(result1),y=result1[which.max(result1)]),colour=alpha(‘red’,0.5),size=5) 
# 举办第二次模仿，找到最优的分别参数，使选取的期望值到达较大

result2 <- rep(0,100)

for (i in 1:100) {

  result2[i] <- mean(replicate(n=10000,selection(i)))

}

p <- ggplot(data=data.frame(index,result2),aes(index,result2))

p+geom_line(size=1, colour=’turquoise4′) +

  geom_point(aes(x = which.max(result2),y=result2[which.max(result2)]),colour=alpha(‘red’,0.5),size=5)
# 结构函数，记录需要几多次实验才气选取较优的工具

howmany <- function(n) {

  raw.data <- sample(1:100,100)

  first.group <- raw.data[1:n]

  second.group <- raw.data[(n+1):100]

  first.max <- max(first.group)

  morethan.first <- second.group > first.max

  which.select <- ifelse(any(morethan.first) == TRUE,

                      which(morethan.first==T)[1],0)

  return(which.select)

} 
# 记录实验次数的10000次模仿功效，并绘制直方图

result3<- replicate(n=10000,howmany(7))

p <- ggplot(data=data.frame(result3),aes(result3))

p + geom_histogram(binwidth=1, position=’identity’,

    alpha=0.5,fill=’lightskyblue4′,aes(y = ..density..,))+

    stat_density(geom = ‘line’,colour=’red4′)
# 调查10次实验内可选取到符合工具的人数比例

length(result[result>0 & result <10])/10000

length(result[result>0 & result <30])/10000

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