Matlab代数(方程求解)

到今朝为止，我们已经看到所有的例子都在MATLAB以及它的GNU，可能称为Octave。可是，为了求解根基代数方程，MATLAB和Octave都差异，所以这里将别离先容MATLAB和Octave。

我们还将接头代数表达式的解析和简化。

在MATLAB中求解根基代数方程

solve函数用于求解代数方程。在其最简朴的形式中，solve函数将引用中的方程式作为参数。

譬喻，在等式x-5 = 0中求解x，参考以下代码实现 –

solve('x-178=0')

MATLAB将执行上述语句并返回以下功效 –

Trial>> solve('x-178=0')
ans =

178

也可以这样挪用solve函数 –

Trial>> solve('x-110 = 0')
ans =

110

甚至可以不消包罗方程的右侧部门 –

Trial>> solve('x-110')
ans =

110

假如方程式涉及多个标记，则默认环境下，MATLAB假定正在求解x，可是，solve函数具有另一种形式 –

solve(equation, variable)

个中，也可以涉及到变量。

譬喻，要求解v - u - 3t^2 = 0(这里为t的平方)，对付v，在这种环境下，应该书写为 –

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB执行上述语句将返回以下功效 –

ans =
 3*t^2 + u

求解代数中的根基代数方程

roots函数用于求解代数中的代数方程，可以重写上面的例子如下：

譬喻，要在等式x-5 = 0中求解x的值 –

roots([1, -5])

执行上面示例代码，获得以下功效 –

Trial>> roots([1, -5])

ans =

     5

也可以这样挪用roots函数 –

y = roots([1, -5])

执行上面示例代码，获得以下功效 –

Trial>> y = roots([1, -5])

y =

     5

在MATLAB中求解二次方程

solve函数也可以用来求解高阶方程。凡是用于求解二次方程。该函数返回数组中方程的根。

以下示例求解二次方程x^2 -7x +12 = 0(注：x^2暗示x的平方)。建设剧本文件并键入以下代码 –

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

执行上面示例代码，获得以下功效 –

Trial>> eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

The first root is: 
3

The second root is: 
4

在Octave中求解二次方程

以下示例办理Octave中的二次方程x^2-7x +12 = 0。建设剧本文件并键入以下代码 –

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

执行上面示例代码，获得以下功效 –

Trial>> s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
The first root is: 
     4

The second root is: 
     3

求解MATLAB中的高阶方程

solve函数也可以办理高阶方程。譬喻，下面演示求解(x-3)^2(x-7)= 0(注：(x-3)^2暗示(x-3)的平方)的三次方程 –

MATLAB执行上述语句将返回以下功效 –

ans =
  3
  3
  7

在较高阶方程的环境下，根很长，包括许多项。可以通过将这些根的数值转换为double来得到数值。以下示例办理四阶方程x^4 - 7x^3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0(注：x^4暗示x的4次方)。

建设剧本文件并键入以下代码 –

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

#p#分页标题#e#

MATLAB执行上述语句将返回以下功效 –

The first root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 1)

The second root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 2)

The third root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 3)

The fourth root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 4)

Numeric value of first root
    1.0598

Numeric value of second root
    6.6304

Numeric value of third root
  -0.3451 - 1.0778i

Numeric value of fourth root
  -0.3451 + 1.0778i

请留意，最后两个根是复数。

在Octave中求解高阶方程

以下示例示解四阶方程：x^4 - 7x3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0。

建设剧本文件并键入以下代码 –

v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

MATLAB执行上述语句将返回以下功效 –

Trial>> v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Numeric value of first root
    6.6304

Numeric value of second root
    1.0598

Numeric value of third root
  -0.3451 + 1.0778i

Numeric value of fourth root
  -0.3451 - 1.0778i

MATLAB中求解方程组

solve函数也可用于生成包括多个变量的方程组的解。下面来看一个简朴的例子来说明这一点。

下面来求解方程式 –

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

建设剧本文件并键入以下代码 –

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
x = s.x
y = s.y

MATLAB执行上述语句将返回以下功效 –

x =

22/19


y =

-5/57

同样，可以示办理更大的线性系统。思量以下一组方程式 –

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在Octave中求解方程组

还可以利用差异的要领来示解n未知数的n线性方程组。下面来看一个简朴的例子来说明这一点。

假设要示解方程式 –

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

这种线性方程组可以写成单矩阵方程Ax = b，个中A是系数矩阵，b是包括线性方程右边的列向量，x是暗示解的要领的列向量。如下图所示 –

建设剧本文件并键入以下代码 –

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

执行上面示例代码，获得以下功效 –

ans =

   1.157895
  -0.087719

同样，可以示解下面给出的较大的方程组 –

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在MATLAB中扩展和荟萃方程

expand 和 collect函数别离扩展和荟萃方程。以下示例演示了这些观念 –

当利用很多标记成果时，应该声明变量为标记。

建设剧本文件并键入以下代码 –

syms x %symbolic variable x
syms y %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

执行上面示例代码，获得以下功效 –

 ans =
 x^2 + 4*x - 45
 ans =
 x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
 ans =
 2*cos(x)*sin(x)
 ans =
 cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
 ans =
 x^4 - 7*x^3
 ans =
 x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

在Octave扩展和荟萃方程

需要有symbolic包，它提供了expand和collect函数来别离扩展和荟萃方程。以下示例演示了这些观念 –

#p#分页标题#e#

当利用很多标记成果时，应该声明变量是标记，可是Octave具有差异的要领来界说标记变量。留意利用的是Sin和Cos，它们是界说在symbolic包中的。

建设剧本文件并键入以下代码 –

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

运行文件时，会显示以下功效 –

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代数表达式的因式解析和简化

因子函数将表达式解析，简化函数简化表达式。以下示例演示了这一观念 –

示例

建设剧本文件并键入以下代码 –

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
f = factor(y^2*x^2,x)
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

执行上面示例代码，获得以下功效 –

Trial>> factorization

ans =

[ x - y, x^2 + x*y + y^2]


f =

[ y^2, x, x]


ans =

x^2 + 4

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